Evens 读书笔记EVENS NOTES
这是Evens的偏微分方程（Partial Differential Equation）的读书笔记。我继续昨天的内容进行总结。
Laplace（Poisson）方程
这个方程的解
我们求解Laplace（Poisson）方程$-\Delta u=f$.首先，我们将推导$-\Delta$的基本解.首先我们限制$u(\boldsymbol{x})=v(r)$，然后注意到，$\mathbf{D}v(r)=\frac{v'(r)}{r}\boldsymbol{x}$.从而就能知道$\Delta v(r)=\frac{n-1}{r}v'(r)+v''(r)=\frac{1}{r^{n-1}}(r^{n-1}v'(r))'$.进行一次积分就是$$v'(r)=-\frac{1}{n\alpha(n)r^{n-1}}\quad\text{where $n\alpha(n)$ is the area of $n-$dimension unit sphere}.$$因此我们得到了基本解就是$$\Phi(\boldsymbol{x})=\begin{cases}-\frac{1}{2\pi}\ln|\boldsymbol{x}|,&n=2;\\\frac{1}{n\alpha(n)(n-2)|\boldsymbol{x}|^{n-2}},&n\geq3.\end{cases}$$当然应该注意这个解是径向的.
因此，对于一般的Poisson方程，我们就可以直接使用前述结论进行卷积了，结论是，Poisson方程的根为
$$u(\boldsymbol{x})=\begin{cases}-\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}^2}\ln(|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|)f(\boldsymbol{y})\text{d}\boldsymbol{y},&n=2;\\ \frac{1}{n\alpha(n)(n-2)}\int_{\mathbb{R}^n}\frac{f(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|^{n-2}}\text{d}\boldsymbol{y},&n\geq3.\end{cases}$$这是Poisson方程的一个解公式.当然我们可以直接证明出来而不用基本解的方法.首先在远离$\boldsymbol{0}$的位置上面，我们的措施就是直接利用定义，而$\boldsymbol{0}$的附近，采用小球$B_{(\boldsymbol{0},\varepsilon)}$进行隔离逼近即可.
一些重要的性质
最重要的性质就是平均值公式，换言之，对于$U$上面的调和函数$u$，每一个球$B(\boldsymbol{x},r)\subseteq U上面$，等式$$u(\boldsymbol{x})=\frac{1}{|\partial B(\boldsymbol{x},r)|}\int_{\partial B(\boldsymbol{x},r)}u\text{d}S=\frac{1}{|B(\boldsymbol{x},r)|}\int_{B(\boldsymbol{x},r)}u\text{d}\boldsymbol{y}$$成立.
接下来，可以利用平均值公式得到许许多多相关的定理，例如假设有一个点$\boldsymbol{x}^0\in U$取到$\bar{U}$上面的最大值$M$，那么直接对任何一个$r$做平均值公式，就发现每一个点处都是$M$（当然如果问假设$\boldsymbol{x}^0$特别靠近$\partial U$怎么办呢？答案是不断地利用前述推理）.这样我们就得到了强最大值原理，即如果调和函数在连通域内部取到最值，那么它是常数函数；进而可以得到最大值一定在边界，数学表达式写作$$\max_{\bar{U}}u=\max_{\partial U}u.$$这叫做最大值原理.
事实上，我们还可以证明调和函数的导数具有估计$$|\mathbf{D}^{\boldsymbol{\alpha}}u(\boldsymbol{x}^0)\leq\frac{C_k}{r^{n+k}}||u||_{L^1(B(\boldsymbol{x}^0,r))},$$其中，$C_0=1/\alpha(n)$，$C_k=\frac{(2^{n+1}nk)^k}{\alpha(n)}$.由此可以知道$$||\mathbf{D}^{\boldsymbol{\alpha}}u||_{L^{\infty}(B(\boldsymbol{x}^0,r))}\leq M\left(\frac{2^{n+1}n}{r}\right)^{|\boldsymbol{\alpha}|}|\boldsymbol{\alpha}|^{|\boldsymbol{\alpha}|}.$$另外又知道$k^k < k!\text{e}^k$对于任何正整数$k$成立，上式可以继续化简成为$M\left(\frac{2^{n+1}n^2\text{e}}{r}\right)^{|\boldsymbol{\alpha}|}\boldsymbol{\alpha}\!$，从而可以发现，Taylor展开式的余项在$|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}^0| < r/(2^{n+2}n^3\text{e})$的时候大概是$1/2^N$量级，由此可见，调和函数是解析的.
更进一步，我们断言调和函数要么是常数，要么是无界的，这就是所谓的Liouville定理.利用前面的导数估计，直接取$r\to+\infty$，不难得到$\mathbf{D}u\equiv0$，从而$u$是常数.以上有两个定理，分别展现了解析性和无界性，当$n=2$的时候，我们知道可导复变函数的实部和虚部都是调和函数，所以这两个定理分别对应的就是可导复变函数是解析的，并且也满足有界等价于常数.
最后讲一个非常重要的Harnack不等式，即对于连通开集$V\subseteq\subseteq U$，存在一个$C$只依赖于$V$满足$$\sup_Vu\leq C\inf_Vu,$$换言之，调和函数的最大值和最小值相差“不太大”.直观上看，$V$和边界$\partial U$之间有一定距离，所以Laplace方程可以在这段距离上发生一定作用，让一切得以继续下去.
假设$r=\frac{1}{4}\text{dist}(V,\partial U)$，对于距离小于$r$的两个点$\boldsymbol{x}$和$\boldsymbol{y}$，那么$u(\boldsymbol{x})=\frac{1}{|B(\boldsymbol{x},2r)|}\int_{B(\boldsymbol{x},2r)}u\text{d}\boldsymbol{z}$ $\geq\frac{1}{\alpha(n)2^nr^n}\int_{B(\boldsymbol{y},r)}u\text{d}\boldsymbol{z}=\frac{1}{2^n}\frac{1}{|B(\boldsymbol{y},r)|}u\text{d}\boldsymbol{z}$ $=\frac{1}{2^n}u(\boldsymbol{y})$.从而我们可以看出，对于任何两个点他们函数值的差距最多是$2^n$.然后我们完全可以用有限个（设为$N$）半径为$r$的球体覆盖$V$，这样，任何两个点的函数值最多是一个$2^{n(N+1)}$倍，即Harnack不等式当中$C=2^{n(N+1)}$满足条件.
前文已经看到，可以利用基本解求出Poisson方程的解，而我们说，$n\geq3$的时候所有的有界解都只能通过$$u(\boldsymbol{x})=\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})f(\boldsymbol{y})\text{d}\boldsymbol{y}+C$$给出.首先，$\Phi(\boldsymbol{x})\to0(|\boldsymbol{x}|\to+\infty)$保证了有界性，而唯一性由Liouville定理保证. 但很可惜，$n=2$的情况由于$\ln|\boldsymbol{x}|$是无界的，所以这个方法就不适用了.
热传导方程
以下我们讨论方程$u_t-\Delta u=0$的解.和前面一样，我们发现径向解和基本解完全一致.不过值得注意的是，我们通常的做法，是找一个具有形式$u(\boldsymbol{x},t)=\frac{1}{t^\alpha}v(|\boldsymbol{x}|/t^\beta)$的解，之后我们发现这个算子可以写作$\left(r^{n-1}v'+\frac{1}{2}r^nv\right)'=0$，从而就可以得到函数
$$\Phi(\boldsymbol{x},t)=\begin{cases}\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}\text{e}^{-\frac{|\boldsymbol{x}|^2}{4t},& t>0;\\0,&t=0\end{cases}$$为热算子$\partial_t-\Delta$的基本解.从物理角度考虑，上述基本解得到的一般解$$u(\boldsymbol{x},t)=\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n}\text{e}^{-\frac{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}{4t}}g(\boldsymbol{y})\text{d}\boldsymbol{y}$$具有这样的性质，即如果$g\geq0$且$g\not\equiv0$，那么对于一切$\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n,t>0$，其实都有$u>0$.从而这意味着（满足Fourier定律$\boldsymbol{q}=-k\boldsymbol{\nabla}u$的）热传导速率是无穷大的.
接下来需要讨论的就是非齐次情况，应该说，对于非齐次问题，我们需要Duhamel原理，物理上就是把一段时间内源源不断的外力变成$[\tau,\tau+\text{d}\tau]$时刻的瞬时冲量经过$t-\tau$时间的传播之后的影响；数学上就是把非齐次项$f(\boldsymbol{x},t)$变成一个个时间$s$时候的量并积分.具体而言，考虑方程组
$$\begin{cases}u_t(\boldsymbol{x},t;s)-\Delta u(\boldsymbol{x},t;s)=0,&(\boldsymbol{x},t)\in\mathbb{R}\times(s,\infty);\\u(\boldsymbol{x},s;s)=f(\boldsymbol{x},s),&\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n.\end{cases}$$然后我们对$s$积分，得到$u(\boldsymbol{x},t)=\int_0^tu(\boldsymbol{x},t;s)\text{d}s$就是所要求的解了.
This note studies the Laplace and Poisson equations: the fundamental solution, the mean value formula, the maximum principle, Liouville's theorem, the Harnack inequality, and the uniqueness of bounded solutions; it then introduces the heat equation and its fundamental solution.