Evens 读书笔记EVENS NOTES
热传导方程（续）
我们展开$u$的表达式，就是
$$\begin{split}u(\boldsymbol{x},t)&=\int_0^t\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y},t-s)f(\boldsymbol{y},s)\text{d}\boldsymbol{y}\text{d}s\\&=\int_0^t\frac{1}{(4\pi(t-s))^{n/2}}\int_{\mathbb{R}^n}\text{e}^{-\frac{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}{4(t-s)}}f(\boldsymbol{y},s)\text{d}\boldsymbol{y}\text{d}s.\end{split}$$这是方程组\[\begin{cases}u_t-\Delta u=0,&(\boldsymbol{x},t)\in\mathbb{R}^n\times(0,\infty),\\u(\boldsymbol{x},0)=0,&\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n\end{cases}\]的解.当然，确实有一些又臭又长的方法可以不用任何物理/泛函背景证明它.不过，既然这种做法优雅简洁直观，而且很大程度上并没有过大的严谨性问题，不妨直接把它当成是证明好了.另外，如果边界条件变成了$u(\boldsymbol{x},0)=g(\boldsymbol{x})$，那么解就应该加上一个$g$卷积，具体来说，\[u(\boldsymbol{x},t)=\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y},t)g(\boldsymbol{y})\text{d}\boldsymbol{y}+\int_0^t\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y},t-s)f(\boldsymbol{y},s)\text{d}\boldsymbol{y}\text{d}s.\]后一项是扰动$f(\boldsymbol{x},t)$的叠加，前一项是初始条件的影响.
解的性质
和前面一样，我们将讨论其性质.首先还是平均值公式，应该注意，球面是Laplace基本解的水平集，因此我们猜想
\[E(\boldsymbol{x},t;r):=\left\{(\boldsymbol{y},s)\in\mathbb{R}^{n+1}:s\leq t,\Phi(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y},t-s)\geq\frac{1}{r^n}\right\}\]上面$\Phi$的积分和$\Phi(\boldsymbol{x})$很有关联.事实上，可以证明\[u(\boldsymbol{x},t)=\frac{1}{4r^n}\int_{E(\boldsymbol{x},t;r)}u(\boldsymbol{y},s)\frac{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}{(t-s)^2}\text{d}\boldsymbol{y}\text{d}s.\]这是热传导方程的平均值公式.直观上这很有道理，因为，$t$时刻发生的故事永远只跟那些$t$之前的时刻有关联.
同理，我们可以构造出相应的最大值原理，不过考虑到物理图像上，$t$和空间坐标并不平权，因此不是所有样子的几何图像都合理.当然如果要把空间坐标和时间坐标分开来，最简单的一种就是$U_T=U\times(0,T]$，其中$U\subseteq\mathbb{R}^n$而$T\geq0$.而事实上，所有联通的$U$和$T\geq0$形成的$U_T$都满足：如果有一个内点达到最大/小值，那么在$U_T$内部是定值.物理上解读就是如果这个点取到最大/小值，那么必定不存在传热情况，从而只能是大家温度都一样. 证明和波动方程完全一致，我们需要的就是通过不断构造“完全包含在$U_T$里面的水平集，发现这上面必须一直是最大值”然后一直往外捅出去，从而整个$U_T$都是最大值了.
This note continues the study of the heat equation: the expression of solutions via the fundamental solution, Duhamel's principle for the nonhomogeneous problem, the mean value formula on heat balls, and the maximum principle.