Evens 读书笔记EVENS NOTES
解的性质（续）
同理，利用强最大值原理，有界域上面，热传导的边值问题解是唯一的.同样，取$\pm(u-\tilde{u})$使用最大值原理即可.而对于整个$U=\mathbb{R}^n$上面的初值问题，我们需要防止无穷远处输送热量，因此需要做一个限制.考虑热核的形式，我们猜想，大概需要$u$的增长速度不超过$\text{e}^{a|\boldsymbol{x}|^2}$量级才能实现. 事实上，如果满足$u(\boldsymbol{x},t)\leq A\text{e}^{a|\boldsymbol{x}|^2}$恒成立，那么首先可以证明的一点是$$\sup_{\mathbb{R}^n\times[0,T]}u=\sup_{\mathbb{R}^n}g,$$其中$g$是$t=0$的边界条件.然后，利用这个“最大值定理”，就可以证明唯一存在了.
事实上，对于$g=0$来说，方程$$\begin{cases}u_t(\boldsymbol{x},t)-\Delta u(\boldsymbol{x},t)=0,\\u(\boldsymbol{x},0)=0\end{cases}$$存在无穷多个解，但是真正有意义的只有$u\equiv0$这一种，而对于其他的解，都是数学上正确，物理上不可承认的.
利用平均值定理，可以证明热传导方程的解永远是光滑的，并且有估计$$\max_{C(\boldsymbol{x},t;r/2)}|\mathbf{D}_{\boldsymbol{x}}^k\text{D}_t^lu|\leq\frac{C_{kl}}{r^{k+2l+n+2}}||u||_{L^1(C(\boldsymbol{x},t;r))},$$其中$C(\boldsymbol{x},t;r):=\{(\boldsymbol{y},s):|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|\leq r,t-r^2\leq s\leq t\}$. 有意思的是，对于每一个$t_0>0$，$u|_{t=t_0}$都是解析的，但一般情况下，$u(\boldsymbol{x},t)$却不解析.
能量方法
在PDE问题当中，能量方法是非常重要的.在热传导当中，特别是边界为$\Gamma_T$上面$w=0$的时候，能量为$$e(t)=\int_Uw^2(\boldsymbol{x},t)\text{d}\boldsymbol{x},$$注意这不是一般意义下的能量，某种意义上，表征的是“距离热平衡有多远”. 这样$$\dot{e}(t)=2\int_Uww_t\text{d}\boldsymbol{x}=2\int_Uw\Delta w\text{d}\boldsymbol{x}=-2\int_U|\mathbf{D}w|^2\text{d}\boldsymbol{x}\leq0,$$从而，$e(t)\leq e(0)=0$.这意味着$w=0$是唯一合理的解.这里有一个问题，即为什么前面说了不仅仅有零解，但是这里又说唯一解$w\equiv0$呢？答案是因为，这里有一个隐含条件，即$w\in L^2(U)$，所以严格说来，这句话意思是，这个方程的$L^2$解最多能有一个. 更进一步，对于$\Gamma$上满足$u=g$的解$u$仍然也只能存在一个，因为如果有两个解，他们的差是$g=0$的解.这证明了$L^2$解的唯一性；更进一步，在$U$有界的情况下，还能说明$C_1^2(\bar{U}_T)$解的唯一性.
进一步，可以考虑反向问题，即如果两个函数$u,\tilde{u}$在$U\times[0,T]$上面都满足热方程，并且在$\partial U\times[0,T]$和$U\times\{t=T\}$上面相等，那么在整个$U_T$上面都相等.看起来很不显然，但是事实上还是对$w=u-\tilde{u}$利用能量分析，发现$\ddot{e}(t)=4\int_U(\Delta w)^2\text{d}\boldsymbol{x}$.利用Cauchy不等式，可以证明$$\int_U|\mathbf{D}w|^2\text{d}\boldsymbol{x}=-\int_Uw\Delta w\text{d}\boldsymbol{x}\leq\left(\int_Uw^2\text{d}\boldsymbol{x}\right)^{1/2}\left(\int_U(\Delta w)^2\text{d}\boldsymbol{x}\right)^{1/2},$$即$\ddot{e}(t)e(t)\geq(\dot{e}(t))^2$. 初等微积分已经知道这意味着$f(t)=\ln e(t)$是一个凸函数，所以可以得到$e((t_1+t_2)/2)\leq e^{1/2}(t_1)e^{1/2}(t_2)$.假设在$[t_1,t_2)$上面，$e(t)>0$，而$e(t_2)=0$，那么就会发现$$0 < e((t_1+t_2)/2)\leq e^{1/2}(t_1)e^{1/2}(t_2)=0.$$矛盾！从而只能是全部为$0$.
一般波动方程
前面，利用因式分解和传输方程的结论，解决了一维波动方程，现在我们将要解决$n\geq2$维的情况.我们将要解决的一般情况是$$\begin{cases}u_{tt}-\Delta u=0,&u\in\mathbb{R}^n\times(0,\infty);\\u(\boldsymbol{x},0)=g(\boldsymbol{x}),u_t(\boldsymbol{x},0)=h(t),&\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n.\end{cases}$$我们想要尝试得到$u$的表达式（利用$g,h$）. 首先引入$u$在球面$\partial B(\boldsymbol{x},r)$的积分平均为$$U(\boldsymbol{x};r,t)=\frac{1}{|\partial B(\boldsymbol{x},t)|}\int_{\partial B(\boldsymbol{x},t)}u(\boldsymbol{y},t)\text{d}S_{\boldsymbol{y}}.$$同样地定义$G,H$分别是$g,h$的平均，那么$U$满足的PDE为$$\begin{cases}U_{tt}-U_{rr}-\frac{n-1}{r}U_r=0,&(r,t)\in\mathbb{R}_+\times(0,\infty);\\U(r,0)=G(r),U_t(r,0)=H(r),&r\in\mathbb{R}_+.\end{cases}$$这个方程叫做Euler-Poisson-Darboux方程，其中的$U_{rr}+\frac{n-1}{r}U_r$恰好是Laplace算子的径向部分. 在$n=3$的时候，引入$\tilde{U}= rU$，同样定义$\tilde{G}$和$\tilde{H}$.那么$\tilde{U}_{tt}-\tilde{U}_{rr}=0$并且边值条件多了一个$\tilde{U}(0,t)=0$.这样就可以求出来，$$\tilde{U}(\boldsymbol{x};r,t)=\frac{1}{2}(\tilde{G}(\boldsymbol{x},t+r)-\tilde{G}(\boldsymbol{x},t-r))+\frac{1}{2}\int_{t-r}^{t+r}\tilde{H}(\boldsymbol{x},\tau)\text{d}\tau.$$进而可以得到$$u(\boldsymbol{x},t)=\frac{1}{|\partial B(\boldsymbol{x},t)|}(g(\boldsymbol{y})=(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})\cdot\mathbf{D}g+h(\boldsymbol{y})t\text{d}S_{\boldsymbol{y}}.$$这就是$n=3$时候的解. 更一般地，这种做法可以用在$n=2k+1$为奇数的情况，定义$\tilde{U}=\left(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\right)^{k-1}(r^{2k-1}U)$，同样定义$\tilde{G},\tilde{H}$，从而$n$为奇数的时候，波动方程的解为$$\frac{1}{(n-2)!!}\left[\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{t}\frac{\partial}{\partial t}\right)^{(n-3)/2}\left(t^{n-2}\frac{1}{|\partial B(\boldsymbol{x},t|)}\int_{\partial B(\boldsymbol{x},t)}g\text{d}S\right)+\left(\frac{1}{t}\frac{\partial}{\partial t}\right)^{(n-3)/2}\left(t^{n-2}\frac{1}{|\partial B(\boldsymbol{x},t)|}\int_{\partial B(\boldsymbol{x},t)}h\text{d}S\right)\right].$$但是这个方法对于$n=2k$没有用.这是因为过程中我们需要的恒等式几乎都依赖$n$是奇数的条件.
This note covers uniqueness for the heat equation (via the maximum principle and energy methods), a backward-uniqueness argument, and the general \(n\)-dimensional wave equation through the Euler–Poisson–Darboux equation and Kirchhoff's formula in odd dimensions.