Evens 读书笔记EVENS NOTES
一般波动方程（续）
对于$n=2k$为偶数的情况，我们首先看看$n=2$怎么办.首先，把$\mathbb{R}^2$嵌入到$\mathbb{R}^3$，具体把$\boldsymbol{x}$变成$\bar{\boldsymbol{x}}=(\boldsymbol{x},0)$.然后我们可以把$u(\boldsymbol{x},t)$也变成一个$\bar{u}(\bar{\boldsymbol{x}},t)$，同理定义$\bar{g},\bar{h}$.不难看出，$\bar{u}$是三维Laplace方程有初值$g,h$的解.这样利用上面的公式，我们得到$\bar{u}(\bar{x},t)$的表达式. 接下来，我们利用投影方法，比较重要的一点是，点$\bar{y}=(\boldsymbol{y},z)\in\partial\bar{B}(\bar{\boldsymbol{x}},t)$其实是指$z^2+|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^2=t^2$，从而外法向为$\boldsymbol{\nu}=(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x},z)/t$.从而$\text{d}\boldsymbol{y}=|\boldsymbol{\nu}\cdot\boldsymbol{e}_3|\text{d}\bar{S}_{\bar{\boldsymbol{y}}}=\frac{\sqrt{t^2-|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^2}}{t}\text{d}\bar{S}_{\bar{\boldsymbol{y}}}$. 从而得到了$n=2$时候的解为
$$u(\boldsymbol{x},t)=\frac{t}{2}\frac{1}{|B(\boldsymbol{x},t)|}\int_{B(\boldsymbol{x},t)}\frac{g(\boldsymbol{y})+(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})\cdot\mathbf{D}g(\boldsymbol{y})+h(\boldsymbol{y})t}{\sqrt{t^2-|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^2}}\text{d}\boldsymbol{y}.$$利用同样的方法可以把所有$n=2k$为偶数的情况算出来，答案为
$$u(\boldsymbol{x},t)=\frac{1}{n!!}\left[\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{t}\frac{\partial}{\partial t}\right)^{(n-2)/2}\left(t^n\frac{1}{|B(\boldsymbol{x},t)|}\int_{B(\boldsymbol{x},t)}\frac{g(\boldsymbol{y})}{\sqrt{t^2-|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^2}}\text{d}\boldsymbol{y}\right)+\left(\frac{1}{t}\frac{\partial}{\partial t}\right)^{(n-2)/2}\left(t^n\frac{1}{|B(\boldsymbol{x},t)|}\int_{B(\boldsymbol{x},t)}\frac{h(\boldsymbol{y})}{\sqrt{t^2-|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|^2}}\text{d}\boldsymbol{y}\right)\right].$$从而，我们求出了齐次波动方程的解的表达式，更进一步，我们发现对于$n\geq3$的奇数来说，数据$g,h$仅仅影响了锥面$\partial\{(\boldsymbol{y},t):t>0,|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}| < t\}=\{(\boldsymbol{y},t):t>0,|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|=t\}$上面的取值；但是在$n$为偶数的时候，影响了整个锥体.这说明，奇数维的时候，扰动沿着波前传播出去；而偶数维的时候，扰动则会继续影响.这便是Huygens原理.
对于非齐次情况（注意这时候我们一般设定$u|_{t=0}=u_t|_{t=0}=0$，如果不是的话，直接把它写成非齐次的解和一个齐次的解的和即可），我们需要做的就是利用Duhamel原理做积分即可，即如果$u(\boldsymbol{x},t;s)$满足波动方程，且有初值$u(\boldsymbol{x},s;s)=0,u_t(\boldsymbol{x},s;s)=f(\boldsymbol{x},s)$，那么$u(\boldsymbol{x},t)=\int_0^tu(\boldsymbol{x},t;s)\text{d}s$是非齐次波动方程的解.特别地，$n=3$的时候，这个解正是$$u(\boldsymbol{x},t)=\frac{1}{4\pi}\int_{B(\boldsymbol{x},t)}\frac{f(\boldsymbol{y},t-|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|)}{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|}\text{d}\boldsymbol{y},$$也就是物理中所谓推迟势.
现在考虑利用能量方法解决波动方程.考虑能量定义为$$E(t)=\frac{1}{2}\int_Uw_t^2+|\mathbf{D}w|^2\text{d}\boldsymbol{x},$$然后我们假设$w$是边值条件为$0$的齐次方程的解，那么$$\dot{E}(t)=\int_Uw_tw_{tt}+\mathbf{D}w\cdot\mathbf{D}w_t\text{d}\boldsymbol{x}=\int_Uw_t(w_{tt}-\Delta w)\text{d}\boldsymbol{x}=0.$$从而$E(t)\equiv E(0)=0$，于是只能是$w=0$.这再次证明了初值问题解是唯一的. 更进一步，考虑波动方程的解的依赖区域，即$(\boldsymbol{x}_0,t_0)$到底和哪些位置的点有关系，我们猜想这个点只与平面上$B(\boldsymbol{x}_0,t_0)\times\{t=0\}$有关系，但是我们其实有更强的结论，那就是这个圆盘事实上决定了整个$K(\boldsymbol{x}_0,t_0)=\{(\boldsymbol{x},t):t\in[0,t_0],|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0|\leq t_0-t\}$.
至此，我们完整地回顾了第二章里面重要的内容。后面的内容将会根据我的需要和理解，进行较大程度的“从心所欲”的改编。
线性PDE的理论
首先讨论一下各种函数空间.在PDE中用的多的有两种：H$\boldsymbol{\ddot{\text{o}}}$lder空间和Sobolev空间.
所谓H$\ddot{\text{o}}$lder空间就是在$C^k(\bar{U})$当中且\[||u||_{C^{k,\gamma}(\bar{U})}=\sum_{|\boldsymbol{\alpha}|\leq k}||\mathbf{D}^{\boldsymbol{\alpha}}u||_{C(\bar{U})}+\sum_{|\boldsymbol{\alpha}|=k}[\mathbf{D}^{\boldsymbol{\alpha}}u]_{C^{0,\gamma}(\bar{U})}\]有限的函数，其中\[[u]_{C^{0,\gamma}(\bar{U})}=\sup_{\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in I}\left\{\frac{|u(\boldsymbol{x})-u(\boldsymbol{y})|}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|^{\gamma}}\right\}\]叫做H$\boldsymbol{\ddot{\text{o}}}$lder半范数.
This note treats the wave equation in even dimensions via the method of descent and Huygens' principle, the energy method and domains of dependence, and introduces Hölder and Sobolev spaces for the linear theory of PDEs.